Слава разработчикам Лектория!
Слава! Слава!

Аналитическая геометрия

Категория: Математика

Вопросы экзаменационной программы (осенняя сессия 2017 года)

  1. Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. Векторное пространство. Коллинеарность и компланарность векторов. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью или компланарностью векторов. Базис, координаты вектора в базисе. Действия с векторами в координатах.
  2. Определения общей декартовой и прямоугольной (ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и её свойства. Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой (частный случай).
  3. Скалярное произведение и его свойства. Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Матрица Грама. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. Биортогональный (взаимный) базис.
  4. Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное произведение, его геометрический смысл и свойства. Векторное произведение, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и компланарности векторов. Формула двойного векторного произведения.
  5. Общее понятие об уравнении множества. Алгебраические линии и поверхности, их порядок. Теорема об инвариантности порядка линии на плоскости (поверхности в пространстве) при переходе к новой декартовой системе координат.
  6. Векторная и координатная формы уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. Пучок прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
  7. Векторные и координатные формы уравнения плоскости. Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. Расстояние от точки до плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
  8. Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии.
  9. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства (начало, конец). Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
  10. Асимптотические направления. Сопряжённые диаметры.
  11. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды, их основные свойства (эллипсоида, гиперболоида и параболоида). однополостного гиперболоида.
  12. Отображения и преобразования плоскости. Произведение (композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости.
  13. Понятие о группе преобразований (на примере афинных преобразований). Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства (образ прямой, изменение площади, образ линий второго порядка). Геометрический смысл модуля и знака определителя аффинного преобразования плоскости. Ортогональные преобразования плоскости и их свойства. Разложение аффинного преобразования плоскости в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий.
  14. Алгебраические операции с матрицами (сложение, умножение на число и транспонирование. Умножение матриц). Элементарные преобразования матриц. Обратная матрица.
  15. Определение детерминанта. Определение детерминаната по формуле полного развертывания. Свойства детерминанта. Миноры, алгебраические дополнения. Детерминант произведения матриц.

Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. Векторное пространство. Коллинеарность и компланарность векторов. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью или компланарностью векторов. Базис, координаты вектора в базисе. Действия с векторами в координатах.
  • Определения общей декартовой и прямоугольной (ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и её свойства. Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой (частный случай).
  • Скалярное произведение и его свойства. Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Матрица Грама. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. Биортогональный (взаимный) базис.
  • Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное произведение, его геометрический смысл и свойства. Векторное произведение, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и компланарности векторов. Формула двойного векторного произведения.
  • Общее понятие об уравнении множества. Алгебраические линии и поверхности, их порядок. Теорема об инвариантности порядка линии на плоскости (поверхности в пространстве) при переходе к новой декартовой системе координат.
  • Векторная и координатная формы уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. Пучок прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
  • Векторные и координатные формы уравнения плоскости. Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. Расстояние от точки до плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
  • Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии.
  • Эллипс, гипербола и парабола, их свойства (начало, конец). Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
  • Асимптотические направления. Сопряжённые диаметры.
  • Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды, их основные свойства (эллипсоида, гиперболоида и параболоида). однополостного гиперболоида.
  • Отображения и преобразования плоскости. Произведение (композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости.
  • Понятие о группе преобразований (на примере афинных преобразований). Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства (образ прямой, изменение площади, образ линий второго порядка). Геометрический смысл модуля и знака определителя аффинного преобразования плоскости. Ортогональные преобразования плоскости и их свойства. Разложение аффинного преобразования плоскости в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий.
  • Алгебраические операции с матрицами (сложение, умножение на число и транспонирование. Умножение матриц). Элементарные преобразования матриц. Обратная матрица.
  • Определение детерминанта. Определение детерминаната по формуле полного развертывания. Свойства детерминанта. Миноры, алгебраические дополнения. Детерминант произведения матриц.
  • " data-image='https://mipt.lectoriy.ru/img/hd/course/Math-analyth_geom.jpg' data-title="Аналитическая геометрия | Лекторий МФТИ" data-url="https://mipt.lectoriy.ru/course/Math-analyth_geom" hashtags:twitter="Лекторий,МФТИ">
    33 804 просмотра
    22 декабря 2017

    Лекторы

    кандидат физико-математических наук, доцент МФТИ
    Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, тренер сборной России на Международных олимпиадах по математике.
    Осталось 512 из 512 символов.
    комментарий скрыт

    Осталось 0 из 512 символов.

    Комментарий не может быть пустым.
    Московский физико-технический институт
    Московский физико-технический институт (Физтех) – ведущий вуз России по подготовке высококвалифицированных специалистов по передовым направлениям науки и техники. Входит в топ 5 крупных рейтингов отечественных университетов. Отличительной чертой образовательного процесса МФТИ является система поиска и подготовки кадров – знаменитая «система Физтеха».
    Скачайте наше мобильное приложение
    iTunes
    Google Play